Question

7．如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：2AE²=AC•AP；
（3）当△ABF的面积为6，周长等于12时．求AE的长．

Answer 1

分析 （1）因为是对折所以AO=CO，利用三角形全等证明EO=FO，得到四边形AFCE是菱形；
（2）证明△AOE∽△AEP，得到$\frac{AE}{AP}=\frac{AO}{AE}$，所以AE²=AO•AP，由四边形AFCE是菱形，得到AO=$\frac{1}{2}$AC，所以AE²=$\frac{1}{2}$AC•AP，即2AE²=AC•AP；
（3）设AB=x，BF=y，根据△ABF的周长等于12时，得到12-（x+y）=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$①，整理得：144-24（x+y）+2xy=0②，又S_△ABF=6，得到$\frac{1}{2}$xy=6，则xy=12③，由②，③得：x+y=$\frac{41}{6}$，所以AF=12-（x+y）=12-$\frac{41}{6}$=$\frac{31}{6}$．即AE=$\frac{31}{6}$．

解答 解：（1）如图1，连接EF交AC于O，

当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是菱形（对角线垂直平分的四边形是菱形）．
（2）如图2，

∵过E点作AD的垂线EP交AC于点P，
∴∠AEP=90°，
由（1）得：∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴$\frac{AE}{AP}=\frac{AO}{AE}$，
则AE²=AO•AP，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC，
∴AE²=$\frac{1}{2}$AC•AP，
∴2AE²=AC•AP．
（3）∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=AE．
设AB=x，BF=y，
∵∠B=90，
∴AF=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
∵△ABF的周长等于12时，
∴12-（x+y）=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$①
把①左右两边平方得：
144-24（x+y）+x²+2xy+y²=x²+y²，
整理得：144-24（x+y）+2xy=0，②
又∵S_△ABF=6，
∴$\frac{1}{2}$xy=6，则xy=12．③
由②，③得：x+y=$\frac{41}{6}$，
∴AF=12-（x+y）=12-$\frac{41}{6}$=$\frac{31}{6}$．
∴AE=$\frac{31}{6}$．

点评 本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，翻折变换的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记各性质以及菱形的判定方法是解题的关键．