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【题目】如图,在正方形ABCD中,∠BAC的平分线交BC边于GAG的中垂线与CB的延长线交于E,与ABACDC分别交于点MNF,下列结论:①tanE=,②AGC≌△EMG,③四边形AMGN是菱形,④SCFN=S四边形AMGN,其中正确的是______(填序号).

【答案】②③④

【解析】

在正方形ABCD中,∠BAC的平分线交BC边于G,可得∠BAG=CAG=BAC=22.5°,∠AGB=67.5°,因为AG的中垂线与CB的延长线交于E,可得AM=MGAN=NG,∠E=22.5°,即可判断①错误,证明AM=AN,可得AM=GM=NG=AN,即四边形AMGN是菱形,可判断③正确;用角角边可证明AGC≌△EMG,可判断②正确;证明意AMN∽△CFN,可得SCFN=2SAMN=S四边形AMGN,可判断④正确.

解:∵在正方形ABCD中,∠BAC的平分线交BC边于G

∴∠BAG=CAG=BAC=22.5°

∵∠ABC=90°

∴∠AGB=90°-22.5°=67.5°

AG的中垂线与CB的延长线交于E

AM=MGAN=NG,∠E=90°-AGB=22.5°

tanE=错误,即①错误;

∵∠AMN=ANM=90°-22.5°=67.5°

AM=AN

AM=GM=NG=AN

∴四边形AMGN是菱形,即③正确;

∵四边形AMGN是菱形,

MGACABNG

∴∠ACG=MGE=45°,∠NGC=ABC=90°

GC=GN=GM

∵∠GAC=E=22.5°

∴△AGC≌△EMGAAS),即②正确;

由题意AMN∽△CFN

SCFN=2SAMN=S四边形AMGN,即④正确.

故答案为:②③④.

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