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【题目】如图,ABC是⊙O的内接正三角形,点P在劣弧BC上(不与点BC重合).

1)如图1,若PA是⊙O的直径,则PA______PB+PC(请填“=”

2)如图2,若PA不是⊙O的直径,那么(1)中的结论是否仍成立?如果不成立,请说明理由:如果成立,请给出证明.

3)如图3,若四边形ACPB的面积是16

①求PA的长;

②设y=SPCB+SPCA,求当PC为何值时,y的值最大?并直接写出此时⊙O的半径.

【答案】1=;(2)结论仍然成立,理由见解析.(3)①PA=8,②PC=5,y的值最大,△ABC的外接圆的半径为

【解析】

1)根据△ABC是等边三角形,⊙O是△ABC的外接圆,PA是直径,得PC=PAPB=PA;(2)根据等边三角形的性质和判定,可证△CBE≌△ABESAS),PC=AE,故PA=PE+AE=PB+PC;(3)①如图3中,作CMPAMBNPAN.根据S四边形ACPB=SPAC+SPAB16=PACM+PABN,根据三角函数得CM=PCsin60°BN=PCsin60°,故16=PAPB+PC),PA2=64;②设PC=x,则PB=8-x

y=SPCB+SPCA=PCPBsin60°+8PCsin60°,得y=x8-x+x=-x2+x=-x-52+,根据二次函数二次函数最值性质和勾股定理可求解.

解:(1)如图1中,

∵△ABC是等边三角形,⊙O是△ABC的外接圆,PA是直径,

PA平分∠BAC,∠ACP=ABP=90°

∴∠PAC=PAB=×60°=30°

PC=PAPB=PA

PA=PB+PC

故答案为=

2)结论仍然成立.

理由:如图2中,在PA上取一点E,使得PE=PB

∵△ABC是等边三角形,

∴∠ACB=ABC=60°

∴∠APB=ACB=60°

PE=PB

∴△PBE是等边三角形,

∴∠PBE=ABC=60°

∴∠ABE=CBP

BC=BABP=BE

∴△CBE≌△ABESAS),

PC=AE

PA=PE+AE=PB+PC

3)①如图3中,作CMPAMBNPAN

S四边形ACPB=SPAC+SPAB

16=PACM+PABN

∵∠APC=ABC=60°,∠APB=ACB=60°

CM=PCsin60°BN=PCsin60°

16=PAPB+PC),

PB+PC=PA

PA2=64

PA0

PA=8

②设PC=x,则PB=8-x

y=SPCB+SPCA=PCPBsin60°+8PCsin60°

y=x8-x+x=-x2+x=-x-52+

-0

x=5时,y有最大值,

PC=5CM=PM=AM=

RtACM中,AC==7

∴△ABC的外接圆的半径为

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