Question

如图，矩形纸片ABCD，AD=BC=3，AB=CD=9，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK，则对△MNK的叙述正确的个数是：
①△MNK一定是等腰三角形；
②△MNK可能是钝角三角形；
③△MNK有最小面积且等于4.5；
④△MNK有最大面积且等于7.5．

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

D
分析：①首先根据矩形的性质可得AM∥DN，再根据平行线的性质可得∠KNM=∠1，由折叠可得∠KMN=∠1，进而得到∠KNM=∠KMN，根据等角对等边可得KN=KM，得到△MNK是等腰三角形；
②利用将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC，即可得出△MNK是钝角三角形；
③根据当KN=AD=3时，△MNK最小面积求出即可；
④此题要分两种情况进行讨论：①将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合；②将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC，分别进行计算即可．
解答：①如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AM∥DN，
∴∠KNM=∠1．
∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN．
∴KN=KM，
∴△MNK是等腰三角形，故此选项正确；
②如图3，△MNK可是钝角三角形，故此选项正确；
③如图1，当KN=AD=3时，△MNK最小面积为：×3×3=4.5，故此选项正确；
④分两种情况：
情况一：如图2，将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合．
设MK=MD=x，则AM=9-x，
在Rt△DAM中，由勾股定理，得x²=（9-x）²+3²，
解得，x=5．
即MD=ND=5，
故S_△MNK=S_梯形AMND-S_△ADM=9×3×-4×3×=7.5．
情况二：如图3，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC．
设MK=AK=CK=x，则DK=9-x，
同理可得x²=（9-x）²+3²，
解得：x=5，
即MK=NK=5．
故S_△MNK=S_△DAC-S_△DAK=×9×3-×4×3=7.5，故此选项正确；
故正确的有4个．
故选：D．
点评：此题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，三角形的面积计算，注意分类思想的运用，综合性较强，有一点的难度．