Question

【题目】如图，在中，是边上的高，是的平分线.

（1）若，，求的度数；

（2）若，，求的度数（用含，的式子表示）

（3）当线段沿方向平移时，平移后的线段与线段交于点，与交于点，若，，求与、的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）∠DCE＝18°；；（2） (β－α)；（3）∠HGE＝ (β－α)．

【解析】

（1）根据三角形的内角和得到∠ACB=64°，根据角平分线的定义得到∠ECB=∠ACB=32°，根据余角的定义得到∠DCE=90°-∠DEC=184°，于是得到结论；

（2）根据角平分线的定义得到∠ACB=180°-α-β，根据角平分线的定义得到∠ECB=∠ACB=（180°-α-β），根据余角的定义得到∠BCD=90°-∠B=90°-β，于是得到结论；

（3）作出平移图，因为GH∥CD，所以∠HGE＝∠DCE，由（2）得到∠DCE＝ (β－α)，进而得到∠HGE＝ (β－α)

解：（1）∵ ∠A＝40°，∠B＝76°，

∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－40°－76°＝64°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE＝∠ACB＝×64°＝32°，

∴∠DEC＝∠A＋∠ACE＝40°＋32°＝72°，

∵CD是AB边上的高，

∴∠CDE＝90°，

∴∠DCE＝90°－∠DEC＝90°－72°＝18°；

（2）∵∠A＝α，∠B＝β，

∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－α－β，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE＝∠ACB＝ (180°－α－β)＝90°－α－β，

∴∠DEC＝∠A＋∠ACE＝α＋90°－α－β=90°＋α－β，

∵CE是AB边上的高，

∴∠CDE＝90°，

∴∠ECD＝90°－∠DEC
＝90°－(90°＋α－β)＝β－α

＝ (β－α)；

（3）如图，由平移知GH∥CD，所以∠HGE＝∠DCE，

由（2）知∠DCE＝ (β－α)，

所以∠HGE＝∠DCE ＝ (β－α)，

即∠HGE与α，β的数量关系

为∠HGE＝ (β－α)．