Question

4．梯形ABCD中，AD∥BC，分别从两腰AB、CD为边作正方形ABGE和CDFH．M为EF中点，求证：MA=MD．

Answer 1

分析 过M作MN⊥AD于N，过F作FQ⊥MN于Q，过E作EP⊥MN于P，过D作DH⊥FQ于H，交BC于I，证△FHD≌△DIC，推出FH=DI，求出FQ=DI+DN，同理EP=DI+AN，证Rt△EPM≌Rt△FQM，求出FQ=EP，根据线段垂直平分线性质求出即可．

解答 证明：过M作MN⊥AD于N，过F作FQ⊥MN于Q，过E作EP⊥MN于P，过D作DH⊥FQ于H，交BC于I．

在△FHD与△DIC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=90°-∠FDH=∠CDI}\\{∠FHD=∠DIC=90°}\\{DF=DC}\end{array}\right.$，
∴△FHD≌△DIC（AAS），
∴FH=DI，
∴FQ=FH+HQ=DI+DN
同理可得，EP=DI+AN，
在△EPM和△FQM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EPM=∠FQM=90°}\\{∠EMP=∠FMQ}\\{EM=FM}\end{array}\right.$，
∴Rt△EPM≌Rt△FQM（AAS），
∴EP=FQ，
∴AN=DN，
∵MN⊥AD，
∴MA=MD

点评 本题主要考查对梯形，全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线性质，正方形，对顶角等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．