Question

19．已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（-3，0），C（1，0），BC=3．
（1）求过点A，B的直线的函数表达式；
（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，当△APQ与△ADB相似时，求出m的值．

Answer 1

分析 （1）先根据∠ACB=90°，C（1，0），BC=3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；
（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，C（1，0），BC=3，
∴B（1，3）．
设过点AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（-3，0），B（1，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}0=-3k+b\\ 3=k+b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{3}{4}\\ b=\frac{9}{4}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{4}$；

（2）若△ADB与△ABC相似（不包括全等），则有∠ABD=90°，如图1，

此时$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$，即AB²=AC•AD．
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴25=4AD，
∴AD=$\frac{25}{4}$，
∴OD=AD-AO=$\frac{25}{4}$-3=$\frac{13}{4}$，
∴点D的坐标为（$\frac{13}{4}$，0）．

（3）∵AP=DQ=m，
∴AQ=AD-QD=$\frac{25}{4}$-m．
①若△APQ∽△ABD，如图2，

则有$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AD}$，
∴AP•AD=AB•AQ，
∴$\frac{25}{4}$m=5（$\frac{25}{4}$-m），
解得m=$\frac{5}{9}$．
②若△APQ∽△ADB，如图3，

则有$\frac{AP}{AD}$=$\frac{AQ}{AB}$，
∴AP•AB=AD•AQ，
∴5m=$\frac{25}{4}$（$\frac{25}{4}$-m），
解得：m=$\frac{125}{36}$．
综上所述：符合要求的m的值为$\frac{25}{9}$或$\frac{125}{36}$．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．