Question

10．如图，△ABC中，AC=2，把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB′C′，过点B′作BC的平行线，分别交AB、AC的延长线于D、E两点，∠AED=120°，EB′=2$\sqrt{3}$，AB的长为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延长AC′，交BD′的延长线于F，根据已知求得∠AEB′=60°，∠F=30°，进而求得△B′FC′是直角三角形，设C′F=x，则B′F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，在RT△AEF中，解直角三角形求得cos∠F=$\frac{AF}{EF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求得x的值，即可求得B′C′=2，得出AC′=B′C′，求得∠B′AC′=30°，得出∠EAB′=60°，根据等角对等边，即可求得AB=2$\sqrt{3}$．

解答 解：延长AC′，交BD′的延长线于F，
∵∠AED=120°，
∴∠AEB′=60°，
∵∠EAF=90°，
∴∠F=30°，
∵BC∥DE，
∴∠ACB=∠AED=120°，
∴∠AC′B′=120°
∴∠B′C′F=60°，
∴∠C′B′F=90°，
∴B′C′=$\frac{1}{2}$C′F，B′F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$C′F，
设C′F=x，则B′F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵AC=AC′=2，EB′=2$\sqrt{3}$，
∴AF=2+x，EF=2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴cos∠F=$\frac{AF}{EF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即$\frac{2+x}{2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}x}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得x=4，
∴B′C′=$\frac{1}{2}$x=2，
∴AC′=B′C′，
∵∠B′C′F=60°，
∴∠B′AC′=30°，
∴∠EAB′=60°，
∴∠EAB=∠AEB′
∴AB′=BE=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．