Question

5．峨眉河是峨眉的一个风景点．如图，河的两岸PQ平行于MN，河岸PQ上有一排间隔为50米的彩灯柱C、D、E、…，小华在河岸MN的A处测得∠DAN=21°，然后沿河岸走了175米到达B处，测得∠CBN=45°，求这条河的宽度（参考数据：sin21°≈$\frac{9}{25}$，tan21°≈$\frac{3}{8}$）．

Answer 1

分析 设河的宽度为d米，过D作DF⊥MN于F，过C作CH⊥MN于G，构建直角三角形：Rt△ADF、Rt△BCG．通过解这两个直角三角形分别求得AF的值，依次列出关于d的方程，通过解方程来求d的值即可．

解答 解：设河的宽度为d米，
过D作DF⊥MN于F，过C作CH⊥MN于G，
在Rt△ADF中，$tan21°=\frac{DF}{AF}=\frac{d}{AF}$，
∴$AF=\frac{d}{tan21°}$，
在Rt△BCG中，$tan45°=\frac{CG}{BG}=\frac{d}{BG}$，即BG=d，
又∵AB=175，$tan21°≈\frac{3}{8}$，两树的间隔为50米，
∴AF=AG-50=AB+BG-50，
∴$\frac{8}{3}$d=175+d-50，
解得：d=75．
答：峨眉河的宽度约为75米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用．当题中给出一定的度数时，要充分利用这些度数构造相应的直角三角形，利用锐角三角函数知识求解．