如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$x2+bx+c经过点A（$\frac{3}{2}$，0）和点B（1，2$\sqrt{2}$），与x轴的另一个交点为C．分析 （1）把A和B代入函数解析式即可求得b和c的值，求得函数解析式；
（2）首先利用待定系数法求得直线BC的解析式，设P的横坐标是t，过P作y轴的平行线交BC于点E，则E的坐标即可用t表示，则EF的长可利用t表示，则△BCP的面积即可表示成t的函数，利用函数的性质即可求解；
（3）在Rt△BNF中，由勾股定理求得BF的长，然后分成当点M位于点B右侧时和当点M位于点B左侧时两种情况进行讨论，利用直角三角形的性质以及等腰三角形的性质即可求解．
解答 
解：（1）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{8\sqrt{2}}{5}×（\frac{3}{2}）^{2}+\frac{3}{2}b+c=0}\\{\frac{8\sqrt{2}}{5}+b+c=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-8\sqrt{2}}\\{c=\frac{42}{5}\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
则函数的解析式是：$y=\frac{8}{5}\sqrt{2}{x^2}-8\sqrt{2}x+\frac{42}{5}\sqrt{2}$；
（2）在$y=\frac{8}{5}\sqrt{2}{x^2}-8\sqrt{2}x+\frac{42}{5}\sqrt{2}$中令y=0，
解得：x=$\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$，
A的坐标是（$\frac{3}{2}$，0），则C的坐标是（$\frac{7}{2}$，0）．
设BC的函数解析式是：y=kx+d，
则$\left\{\begin{array}{l}{k+d=2\sqrt{2}}\\{\frac{7}{2}k+d=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4\sqrt{2}}{5}}\\{d=\frac{14\sqrt{2}}{5}}\end{array}\right.$，
则直线BC的解析式是：y=$-\frac{4\sqrt{2}}{5}$x+$\frac{14\sqrt{2}}{5}$．
设P的横坐标是t，过P作y轴的平行线交BC于点E，则E的坐标是（t，$\frac{-4\sqrt{2}}{5}$t+$\frac{14\sqrt{2}}{5}$），P的坐标是（t，$\frac{8\sqrt{2}}{5}{t}^{2}-8\sqrt{2}t+\frac{42\sqrt{2}}{5}$）．
则S△BCP=$\frac{1}{2}$[（$\frac{-4\sqrt{2}}{5}$t+$\frac{14\sqrt{2}}{5}$）-（$\frac{8\sqrt{2}}{5}{t}^{2}-8\sqrt{2}t+\frac{42\sqrt{2}}{5}$）]（$\frac{7}{2}$-1）．
则S△BCP的最大值是：$\frac{137\sqrt{2}}{8}$；
（3）∵O（0，0），B（1，2$\sqrt{2}$），F为OB的中点，∴F（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$）．
过点F作FN⊥直线BD于点N，则FN=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，BN=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF=$\sqrt{B{N}^{2}-F{N}^{2}}$=$\frac{3}{2}$．
∵∠BMF=$\frac{1}{3}$∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，
∴∠FBM=2∠BMF．
（I）当点M位于点B右侧时．
在直线BD上点B左侧取一点G，使BG=BF=$\frac{3}{2}$，连接FG，则GN=BG-BN=1，
在Rt△FNG中，由勾股定理得：FG=$\sqrt{G{N}^{2}+F{N}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG．
又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，
∴∠BFG=∠BMF，又∵∠MGF=∠MGF，
∴△GFB∽△GMF，
∴$\frac{GM}{GF}$=$\frac{GF}{GB}$，即$\frac{\frac{3}{2}+BM}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{3}{2}}$，
∴BM=$\frac{1}{2}$；
（II）当点M位于点B左侧时．
设BD与y轴交于点K，连接FK，则FK为Rt△KOB斜边上的中线，
∴KF=$\frac{1}{2}$OB=FB=$\frac{3}{2}$，
∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF，
又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，
∴∠BMF=∠MFK，
∴MK=KF=$\frac{3}{2}$，
∴BM=MK+BK=$\frac{3}{2}$+1=$\frac{5}{2}$．
综上所述，线段BM的长为$\frac{1}{2}$或$\frac{5}{2}$．
点评 本题考查了待定系数法求得函数解析式，以及利用二次函数的性质求最值，正确进行讨论是解决本题的关键．
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