Question

13．平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B在第一象限内，如图所示，且OA=a，OC=b．请根据下列操作，完成后面的问题．
【操作】
（1）连接AC，OB相交于点P₁，则点P₁的纵坐标为$\frac{1}{2}$a；
（2）过点P₁作P₁D⊥x轴于点D，连接BD交AC于点P₂，则点P₂的纵坐标为$\frac{1}{3}$a；
（3）过点P₂作P₂E⊥x轴于点E，连接BE交AC于点P₃，则点P₃的纵坐标为$\frac{1}{4}$a；
…
【问题】
（1）过点P₃作P₃F⊥x轴于点F，连接BF交AC于点P₄，直接写出点P₄的纵坐标；
（2）按照上述操作进行下去，猜想点P_n（n为正整数）的纵坐标是$\frac{a}{n+1}$．（用含n的代数式表示）

Answer 1

分析 【操作】（1）由矩形的性质得出∠AOC=90°，OA=BC，OA∥BC，P₁A=P₁C=$\frac{1}{2}$AC，P₁O=P₁B=$\frac{1}{2}$OB，证出P₁D是△AOC的中位线，得出P₁D=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$a即可；
（2）由平行线得出△DP₁P₂∽△BCP₂，得出对应边成比例$\frac{{P}_{1}{P}_{2}}{C{P}_{2}}=\frac{D{P}_{1}}{BC}$=$\frac{1}{2}$，求出P₂E即可；
（3）同（2），即可得出结果；
【问题】（1）由【操作】（1）（2）（3）得出规律，即可得出结果；
（2）由以上得出规律，即可得出结果．

解答 解：【操作】（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC=90°，OA=BC=a，OA∥BC，P₁A=P₁C=$\frac{1}{2}$AC，P₁O=P₁B=$\frac{1}{2}$OB，
∵P₁D⊥x轴，
∴P₁D∥AO，
∴P₁D是△AOC的中位线，
∴P₁D=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$a，
∴点P₁的纵坐标为$\frac{1}{2}$a；
故答案为：$\frac{1}{2}$a；
（2）∵P₁D∥OA，OA∥BC，
∴P₁D∥BC，
∴△DP₁P₂∽△BCP₂，
∴$\frac{{P}_{1}{P}_{2}}{C{P}_{2}}=\frac{D{P}_{1}}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∵P₁D⊥x轴，P₂E⊥x轴，
∴P₂E∥P₁D，
∴$\frac{{P}_{2}E}{{P}_{1}D}=\frac{C{P}_{2}}{C{P}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，
∴P₂E=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{3}$a，
∴点P₂的纵坐标为$\frac{1}{3}$a；
故答案为：$\frac{1}{3}$a；
（3）同（2）可得：点P₃的纵坐标为$\frac{1}{4}$a；
故答案为：$\frac{1}{4}$a；
【问题】（1）由：【操作】（1）（2）（3）得出规律，点P₄的纵坐标为$\frac{1}{5}$a；
（2）由以上得出规律：点P_n（n为正整数）的纵坐标是$\frac{a}{n+1}$；
故答案为：$\frac{a}{n+1}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、平行线的判定等知识；本题有一定难度，综合性强，需要运用三角形中位线定理和三角形相似才能得出结果，得出规律．