Question

1．如图，点0为矩形ABEC的中心；M为AB的中点，AH⊥CM于H，连OE，EM，BH，下列结论：①BM²=MH•MC；②△MCE为等边△；③若BH=OE，则tan∠CEO=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；④OH∥EM，其中正确的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①首先根据相似三角形判定的方法，判断出△ACM∽△HAM，即可判断出$\frac{AM}{MH}=\frac{MC}{AM}$，所以AM²=MH•MC；然后根据M为AB的中点，可得AM=BM，据此推得BM²=MH•MC即可．
②首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ACM≌△BEM，即可推得MC=ME，所以△MCE为等腰三角形；然后根据无法判断CM、CE的关系，推得△MCE为等边三角形这个结论不正确．
③首先连接BC，判断出BH=OE=$\frac{1}{2}$BC；然后根据BM²=MH•MC，判断出△BMH∽△CMB，即可判断出MB=2MH，据此推得∠HAM=30°，∠ACH=30°，AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}AM$，AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}AB$，所以$\frac{AC}{AB}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；最后根据OE=OC，可得∠CEO=∠ECO，据此求出tan∠CEO的值是多少即可．
④首先延长HO交CE于点D，假设OH∥EM，则推得CH=DH；然后根据已知条件无法判断出CH=DH，所以OH∥EM不成立，据此判断即可．

解答 解：∵AH⊥CM，
∴∠AMH+∠HAM=90°，
又∵∠AMH+∠ACM=90°，
∴∠ACM=∠HAM，
在△ACM和△HAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACM=∠HAM}\\{∠CAM=∠AHM}\end{array}\right.$
∴△ACM∽△HAM，
∴$\frac{AM}{MH}=\frac{MC}{AM}$，
∴AM²=MH•MC，
又∵M为AB的中点，
∴AM=BM，
∴BM²=MH•MC，
∴结论①正确．

在△ACM和△BEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=BM}\\{∠CAM=∠EBM}\\{AC=BE}\end{array}\right.$
∴△ACM≌△BEM，
∴MC=ME，
∴△MCE为等腰三角形，
∵无法判断CM、CE的关系，
∴不能确定△MCE为等边三角形，
∴结论②不正确．

如图1，连接BC，，
∵点0为矩形ABEC的中心，
∴BC所在的直线经过点O，
∵点O是BC边的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}BC$，
又∵BH=OE，
∴BH=OE=$\frac{1}{2}$BC，
∵BM²=MH•MC，
∴$\frac{BM}{MC}=\frac{MH}{BM}$，
∴△BMH∽△CMB，
∴$\frac{MH}{MB}=\frac{BH}{CB}=\frac{1}{2}$，
∴MB=2MH，
又∵AM=MB，
∴AM=2MH，
∴∠HAM=30°，
∴∠ACH=30°，AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}AM$，
∴AC=2AH=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}AM$=$\sqrt{3}$AM=$\sqrt{3}×\frac{1}{2}AB$=$\frac{\sqrt{3}}{2}AB$，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵OE=OC，
∴∠CEO=∠ECO，
∴tan∠CEO=tan∠ECO=$\frac{BE}{CE}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴若BH=OE，则tan∠CEO=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴结论③正确．

如图2，延长HO交CE于点D，，
假设OH∥EM，
则$\frac{DH}{EM}=\frac{CH}{CM}$，
∵CM=EM，
∴CH=DH，
∵无法判断CH=DH，
∴OH∥EM不成立，
∴结论④不正确．
综上，可得
正确的结论的个数是2个：①③．
故选：B．

点评 （1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（3）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．