Question

6．如图，ABCD是边长为a的正方形，E是CD中点，AE和BC的延长线相交于点F，AE的垂直平分线交AE、BC于H、G，求线段FG的长．

Answer 1

分析 利用勾股定理求出AE，然后利用“角边角”求出△ADE和△FGE全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=AE，CF=AD，再求出FH，然后求出△ABF和△GHF相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．

解答 解：∵E是CD中点，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×a=$\frac{a}{2}$，
由勾股定理得AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}a}{2}$，
在△ADE和△FGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECF=90°}\\{CE=DE}\\{∠CEF=∠AED}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴EF=AE，CF=AD，
∵GH垂直平分AE，
∴EH=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{5}a}{4}$，
∴FH=EF+EH=$\frac{3\sqrt{5}a}{4}$，
∵∠F=∠F，∠B=∠GHF=90°，
∴△ABF∽△GHF，
∴$\frac{FG}{AF}=\frac{FH}{FB}$，
即$\frac{FG}{\sqrt{5}a}$=$\frac{\frac{3\sqrt{5}a}{4}}{2a}$，
解得FG=$\frac{15a}{8}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握三角形全等和相似的判定方法是解题的关键．