Question

11．如图1，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，对角线AC、BD相交于点M，点O是边AD的中点．
（1）求对角线AC、BD的长；
（2）设∠COD=α，∠OCD=β，则sinα与sinβ之间有何关系，并说明理由；
（3）如图2，以AD、OB所在直线为x、y轴，建立如图直角坐标系，在y轴上是否存在一点P，使△PAC为直角三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质得出MA=MC=$\frac{1}{2}$AC，MB=MD=$\frac{1}{2}$BD，∠BAM=$\frac{1}{2}$∠BAD=30°，∠AMB=90°，得出MB=$\frac{1}{2}$AB=1，由勾股定理求出MA，即可得出对角线AC、BD的长；
（2）连接OB，由等腰三角形的性质得出OA=OD=1，OB⊥AD，由勾股定理求出OB，证出∠OBC=90°，由勾股定理求出OC，即可得出sinα的值；再根据△OCD的面积求出sinβ，即可得出结果；
（3）分两种情况：①当∠APC=90°时，点P是CB与y轴的交点，AP=OB=$\sqrt{3}$，即可得出结果；
②当∠ACP=90°时，求出∠APC=30°，得出AP=2AC=4$\sqrt{3}$，即可得出结果．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2，MA=MC=$\frac{1}{2}$AC，MB=MD=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，
∠BAM=∠DAM=$\frac{1}{2}$∠BAD=30°，AD∥BC，
∴∠AMB=90°，
∴MB=$\frac{1}{2}$AB=1，MA=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=2MA=2$\sqrt{3}$，BD=2MB=2；
（2）sinα=2sinβ；理由如下：
连接OB，如图1所示：
∵点O是边AD的中点，BD=AB=2，
∴OA=OD=1，OB⊥AD，
∴OB=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵AD∥BC，
∴OB⊥BC，∠BCO=∠COD=α，
∴∠OBC=90°，
∴OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴sinα=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∵△OCD的面积=$\frac{1}{2}$OD•OB=$\frac{1}{2}$OC•CDsinβ，
∴sinβ=$\frac{OD•OB}{OC•CD}$=$\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{7}×2}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
∴sinα=2sinβ；
（3）存在点P，使△PAC为直角三角形，点P坐标为（0，$\sqrt{3}$）或（0，4$\sqrt{3}$）；理由如下：
分两种情况：
①当∠APC=90°时，如图2所示：
点P是CB与y轴的交点，
∴AP=OB=$\sqrt{3}$，
∴点P的坐标为（0，$\sqrt{3}$）；
②当∠ACP=90°时，如图3所示：
∠PAC=90°-30°=60°，
∴∠APC=30°，
∴AP=2AC=4$\sqrt{3}$，
∴点P的坐标为（0，4$\sqrt{3}$）；
综上所述：点P坐标为（0，$\sqrt{3}$）或（0，4$\sqrt{3}$）．

点评 本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数、直角三角形的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，才能得出结果．