Question

12．已知a，b是方程x²-x-1=0的两个实根，则2a⁵+5b³=21．

Answer 1

分析 由a，b是方程x²-x-1=0的两个实根可知：a²=a+1，b²=b+1，然后将2a⁵+5b³变为10a+10b+11，根据根与系数的关系可知a+b=1，从而可求得问题的答案．

解答 解：∵a，b是方程x²-x-1=0的两个实根，
∴a²=a+1，b²=b+1．
∴2a⁵+5b³
=2a（a+1）²+5b（b+1）
=2a（a²+2a+1）+5b²+5b
=2a（3a+2）+5（b+1）+5b
=6a²+4a+10b+5
=6（a+1）+4a+10b+5
=10a+10b+11
∵a，b是方程x²-x-1=0的两个实根，
∴a+b=1．
∴原式=10a+10b+11=10×1+11=21．

点评 此题考查了一元二次方程根与系数的关系的知识，注意若二次项系数不为1，x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，将2a⁵+5b³变为10a+10b+11是解此题的关键．