Question

14．某乡镇的4个村庄A、B、C、D恰好位于正方形的4个顶点上，为了解决农民出行难问题，镇政府决定修建连接各村庄的道路系统，使得每两个村庄都有直达的公路，设计人员给出了如下四个设计方案（实线表示连接的道路）

在上述四个方案中最短的道路系统是方案（　　）

• A． 一
• B． 二
• C． 三
• D． 四

Answer 1

分析 设正方形的边长为a，计算出各种情况时正方形的面积，然后进行比较从而解得．

解答 解：设正方形边长为a，则方案①需用线3a，方案②需用线2$\sqrt{2}$a，方案③需用线2a+$\sqrt{2}$a，
如图所示：
∵AD=a，
∴AG=$\frac{a}{2}$，AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，GE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
∴EF=a-2GE=a-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴方案④需用线$\frac{\sqrt{3}}{3}$a×4+（a-$\frac{\sqrt{3}}{6}$a×2）=（$\sqrt{3}$+1）a．
∴方案④最省钱．
故选D．

点评 本题考查的是作图-应用与设计作图，涉及到正方形的性质，设其正方形边长，分别计算出各自的面积，进行比较而得．