Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连结CN．

（1）当∠BAM＝　 　°时，AB＝2BM；

（2）请添加一个条件：　 　，使得△ABC为等边三角形；

①如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC；

②如图2，当点M运动到线段BC之外（即点M在线段BC的延长线上时），其它条件不变（△ABC仍为等边三角形），请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）30；（2）AB＝AC；①证明见解析；②CN-CM=AC，理由见解析

【解析】

（1）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可；

（2）利用含一个60°角的等腰三角形是等边三角形的判定解答；①利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明△BAM≌△CAN，从而利用全等三角形的性质求解；②利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明△BAM≌△CAN，从而利用全等三角形的性质求解．

解：（1）当∠BAM＝30°时，

∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，

∴AB＝2BM；

故答案为：30；

（2）∵在△ABC中，∠B=60°

∴当AB=AC时，可得可得△ABC为等边三角形；

故答案为：AB＝AC；

①如图1中，

∵△ABC与△AMN是等边三角形，

∴AB＝AC=BC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，

即∠BAM＝∠CAN，

在△BAM与△CAN中， ，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴BM＝CN；

∴AC=BC=BM+CM=CM+CN

即CN+CM＝AC；

②CN-CM=AC，

理由：如图2中，

∵△ABC与△AMN是等边三角形，

∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，

即∠BAM＝∠CAN，

在△BAM与△CAN中， ，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴BM＝CN

∴AC=BC=BM-CM=CN-CM

即CN-CM=AC