Question

【题目】已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且.现将纸片折叠，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），点P为点D的对应点，再将纸片还原。

（I）若点P落在矩形OBCD的边OB上，

①如图①，当点E与点O重合时，求点F的坐标；

②如图②，当点E在OB上，点F在DC上时，EF与DP交于点G，若，求点F的坐标：

（Ⅱ）若点P落在矩形OBCD的内部，且点E，F分别在边OD，边DC上，当OP取最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）。

Answer 1

【答案】（I）①点F的坐标为；②点F的坐标为；（II）

【解析】

（I）①根据折叠的性质可得,再由矩形的性质，即可求出F的坐标;

②由折叠的性质及矩形的特点，易得，得到，再加上平行，可以得到四边形DEPF是平行四边形，在由对角线垂直，得出 是菱形，设菱形的边长为x，在中，由勾股定理建立方程即可求解;

(Ⅱ)当O,P,F点共线时OP的长度最短.

解：（I）①∵折痕为EF,点P为点D的对应点

∵四边形OBCD是矩形，

点F的坐标为

②∵折痕为EF，点P为点D的对应点.

∵四边形OBCD是矩形，

，

；

∴四边形DEPF是平行四边形.

，

是菱形.

设菱形的边长为x，则

，

，

在中，由勾股定理得

解得

∴点F的坐标为

（Ⅱ）