Question

8．如图，二次函数y=$\frac{3}{4}$x²+bx+c的图象与x轴交于A、B（4，0），且与y轴交于点C（0，3），连接BC
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）如图①，P是线段BC下方抛物线上的一个动点，PD垂直BC于D，当PD取得最大值时，在抛物线的对称轴上确定一定M，使得△PAM的周长最小，求出△PAM的周长的最小值；
（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，在线段BC上是否存在这样的点N，使△CQN为等腰三角形且△BQN为直角三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点B、C的坐标代入抛物线的解析式，求得b，c的值，从而可得到抛物线的解析式，然后利用抛物线的对称轴方程可其肚饿抛物线的对称轴；
（2）设BC的解析式为y=kx+b，将点B和点C的坐标代入可求得直线BC的解析式，过点P作PE∥y轴，交BC与点E，连接BP交抛物线的对称轴与M．
设点P的坐标为（x，$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3），则E（x，-$\frac{3}{4}$x+3）．由三角形的面积公式可知当△CPB的面积最大时，PD有最大值，然后列出S_△CPB与x的函数关系式，利用二次函数的性质可求得点P的坐标，然后依据轴对称图形的性质可知当P、M、B在一条直线上时，AM+PM有最小值；
（3）先依据勾股定理求得BC的长，当∠NQB=90°时，则∠CNQ为钝角，则CN=QN．设NQ=CN=a，则BN=5-a，依据锐角三角函数的定义可列出关于a的方程，从而可求得a的值，将y=a代入直线BC的解析式可求得点N的横坐标；当∠QNB=90°时，则△QCN为直角三角形，过点N⊥OC，垂足为D．设CN=QN=a，则BN=5-a．依据锐角三角函数的定义可求得a的值，然后再求得CD，ND的长，从而可求得点N的坐标．

解答 解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线的解析式：$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{12+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得：b=-$\frac{15}{4}$，c=3．
∴二次函数的解析式为y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3．
∴抛物线的对称轴为x=$\frac{5}{2}$．

（2）设BC的解析式为y=kx+b，将点B和点C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3．
如图①所示：过点P作PE∥y轴，交BC与点E，连接BP交抛物线的对称轴与M．
设点P的坐标为（x，$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3），则E（x，-$\frac{3}{4}$x+3）．

∵△CPB的面积=$\frac{1}{2}$BC•PD，且BC为定值，
∴当△CPB的面积最大时，PD有最大值．
S_△CPB=$\frac{1}{2}$PE•OB=2[-$\frac{3}{4}$x+3-（$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3）]=-$\frac{3}{2}$x²+6x．
∴当x=2时，PD有最大值．
将x=3代入抛物线的解析式得：y=-$\frac{3}{2}$．
∴点P的坐标为（2，-$\frac{3}{2}$）．
令y=0得：$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3=0，解得：x=1或x=4，
∴点A的坐标为（1，0）．
依据两点间的距离公式得：AP=$\sqrt{（2-1）^{2}+（-\frac{3}{2}-0）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∵AP的长度为定值，
∴当AM+MB=PM+BM．
∴当P、N、B在一条直线上时，△APM的周长有最小值．
依据两点间的距离公式可知BP=$\sqrt{（4-2）^{2}+（-\frac{3}{2}-0）^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
∴△APM的周长的最小值为$\frac{\sqrt{13}+5}{2}$．

（3）如图②所示：当∠NQB=90°时，则∠CNQ为钝角．

在Rt△BOC中，依据勾股定理可知：BC=$\sqrt{B{O}^{2}+O{C}^{2}}$=5．
∵△CNQ为等腰三角形，
∴CN=QN．
设NQ=CN=a，则BN=5-a．
∵sin∠B=$\frac{QN}{BN}=\frac{OC}{BC}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{a}{5-a}=\frac{3}{5}$，解得：a=$\frac{15}{8}$．
∴点N的纵坐标为$\frac{15}{8}$．
将y=$\frac{15}{8}$代入BC的解析式得：-$\frac{3}{4}$x+3=$\frac{15}{8}$，解得：x=$\frac{3}{2}$．
∴点N的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{8}$）．
如图③所示：当∠QNB=90°时，则△QCN为直角三角形，过点N⊥OC，垂足为D．

∵△QCN为等腰三角形，∠QNB=90°，
∴CN=QN．
设CN=QN=a，则BN=5-a．
∵tan∠B=$\frac{AN}{BN}=\frac{OC}{OB}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{a}{5-a}=\frac{3}{4}$，解得：a=$\frac{15}{7}$．
∴CD=$\frac{3}{5}$CN=$\frac{9}{7}$，DN=$\frac{4}{5}$CN=$\frac{12}{7}$．
∴OD=OC-DC=3-$\frac{9}{7}$=$\frac{12}{7}$．
∴点N的坐标为（$\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$）．
综上所述，点N的坐标为（$\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{8}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式、勾股定理、二次函数的性质，锐角三角函数的定义，分类讨论是解题的关键．