Question

已知：如图，在四边形ABCD中，DC⊥AD，△DBC是等边三角形，∠ABD=45°，AD=2．求四边形ABCD的周长．

Answer 1

解：作AE⊥BD于点E．
在直角△ADE中，∠ADE=90°-∠BDC=90°-60°=30°，
∴AE=AD=×2=1，DE=AD•cos30°=2×=．
在直角△ABE中，∠ABD=45°则AE=BE=1，
∴AB=，BD=BE+DE=+1，
∴四边形ABCD的周长=AB+AD+BC+CD
=+2+（+1）+（+1）
=2++4．
分析：作AE⊥BD于点E，在直角△ADE中利用三角函数求得AE、BD的长度，然后在直角△ABE中求得AB、BE的长，则BC、CD的长度可以求得，周长就可求出．
点评：本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线是关键．