Question

【题目】已知，中，，是边上一点，作，分别交边，于点，.

（1）若（如图1），求证：.

（2）若，过点作，交（或的延长线）于点.试猜想：线段，和之间的数量关系，并就情形（如图2）说明理由.

（3）若点与重合（如图3），，且.

①求的度数；

②设，，，试证明：.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）猜想：，理由见解析；（3）①；②证明见解析.

【解析】（1）根据平行线的判定，得到，，证明.即可证明.

（2）过点作的平行线交的延长线于点，证明≌得到.

证明四边形是平行四边形，即可得到.

（3）①设，，根据三角形的内角和列出方程，求解即可.

②延长至，使，连结,证明 .根据相似三角形的性质得到

，即可证明.

【解答】（1）∵，，，

∴，，

∴，，，

∴.

∴.

（2）猜想：，理由如下：

过点作的平行线交的延长线于点，

则，

∵，

∴，

又，

∴≌∴.

∵，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∴.

（3）①设，

∵，，

∴，

又，即，

∴，即.

②延长至，使，连结，

∵，.

∴ ，

∵，∴，

∴，

而，

∴.

∴，

∴.

∵，，，

∴，

∴.