Question

16．如图，直线l₁：y₁=kx+2（k≠0）与直线l₂：y₂=4x-4交于点P（m，4），直线l₁分别交x轴、y轴于点A、B，直线l₂交x轴于点C．
（1）求k、m的值；
（2）写出使得不等式kx+2＜4x-4成立的x的取值范围；
（3）在直线l₂上找点Q，使得S_△QAC=S_△BPC，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）先把P（m，4）代入y₂=4x-4可求出m=2，则P点坐标为（2，4），然后把P点坐标代入y₁=kx+2可求出k的值；
（2）观察函数图象，写出直线l₂在直线l₁上方所对的自变量的取值范围即可；
（3）先利用y₁=x+2确定A点和B点坐标，再利用y₂=4x-4=0确定C点坐标，则根据S_△BPC=S_△PAC-S_△BAC可计算出S_△BPC=3，设Q点坐标为（t，4t-4），根据三角形面积公式得到所以$\frac{1}{2}$×（1+2）×|4t-4|=3，然后解绝对值方程求出t的值即可得到Q点的坐标．

解答 解：（1）把P（m，4）代入y₂=4x-4得4m-4=4，解得m=2，
所以P点坐标为（2，4），
把P（2，4）代入y₁=kx+2得2k+2=4，解得k=1；
（2）当x＞2时，kx+2＜4x-4；
（3）当y=0时，x+2=0，解得x=-2，则A（-2，0）；当x=0时，y₁=x+2=2，则B（0，2），
当y=0时，4x-4=0，解得x=1，则C（1，0），
所以S_△BPC=S_△PAC-S_△BAC=$\frac{1}{2}$×（1+2）×4-$\frac{1}{2}$×（1+2）×2=3，
设Q点坐标为（t，4t-4），
因为S_△QAC=S_△BPC=3，
所以$\frac{1}{2}$×（1+2）×|4t-4|=3，解得t=$\frac{1}{2}$或t=$\frac{3}{2}$，
所以Q点的坐标为（$\frac{1}{2}$，-2）或（$\frac{3}{2}$，2）．

点评 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．