Question

11．如图，抛物线y=ax²-x+c与x轴相交于点A（-1，0），B（3，0），直线y=x+b与抛物线交于A、C两点．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）以AC为直径的⊙D与x轴交于两点A、E，与y轴交于两点M、N，分别求出D、M、N三点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP的内心也在对称轴上？若存在，说出内心在对称轴上的理由，并求点P的坐标；若不存在，请说明原因．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法求得即可；
（2）联立方程求得C点的坐标，进而求得圆心D的坐标，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得；
（3）求得抛物线的对称轴，然后作CG⊥y轴，交对称轴与G，设对称轴与x轴交于H，由题意可知∠APH=∠CPG，从而证得△APH∽△CPG，得出$\frac{AH}{PH}$=$\frac{CG}{PG}$，设P的坐标为（1，a），则AH=2，PH=-a，CG=4，PG=6-a，根据相似三角形对应边成比例即可求得a的值．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-x+c与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1+c=0}\\{9a-3+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，
∵直线y=x+b经过点A（-1，0），
∴-1+b=0，解得：b=1，
∴直线AC的解析式为y=x+1；

（2）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴A（-1，0），C（5，6），
∴圆心D的坐标为（2，3），AC=$\sqrt{（5+1）^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
如图1，作DE⊥y轴于E，则DE=2，连接DM，则DM=3$\sqrt{2}$，
∴DM=$\sqrt{D{M}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{14}$，
∴M（0，3+$\sqrt{14}$），N（0，3-$\sqrt{14}$）；

（3）如图2，作CG⊥y轴，交对称轴与G，设对称轴与x轴交于H，
由题意可知∠APH=∠CPG，
∴△APH∽△CPG，
∴$\frac{AH}{PH}$=$\frac{CG}{PG}$，
∵抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2
∴抛物线的对称轴为y=1，
设P的坐标为（1，a），
∴AH=2，PH=-a，CG=4，PG=6-a，
∴$\frac{2}{-a}$=$\frac{4}{6-a}$，
解得a=-6，
∴P（1，-6）．

点评 此题主要考查了二次函数的综合题、待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、垂径定理和勾股定理的应用、三角形相似的判定和性质等知识，（3）根据内心的性质得出∠APH=∠CPG是解题的关键．