Question

2．在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3），动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 首先根据线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等，求出AB的中垂线与x轴的交点，即可求出点C₁的坐标；然后再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C₂、C₃；最后判断出以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点，据此判断出点C的个数为多少即可．

解答 解：如图，


∵AB所在的直线是y=x，
∴设AB的中垂线所在的直线是y=-x+b，
∵点A（1，1），B（3，3），
∴AB的中点坐标是（2，2），
把x=2，y=2代入y=-x+b，
解得b=4，
∴AB的中垂线所在的直线是y=-x+4，
∴C₁（4，0）
以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C₂、C₃；
AB=$\sqrt{（3-1）^{2}+（3-1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵2$\sqrt{2}$＜3，
∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点．
综上，可得若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为3．
故选：B．

点评 此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．