Question

12．如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥0B，连结AB交OC于点D．
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=2，AO=$\sqrt{5}$，求BD的长度．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质可得出，∠OAC=90°，再由已知条件得∠ODB+∠B=90°，由OA=OB可得出∠OAB=∠B，从而得出∠CAB=∠ADC，即AC=CD．
（2）利用勾股定理求出OC，即可得出OD的长，然后再根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AC是⊙切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∴∠OAB+∠CAB=90°．
∵OC⊥OB，
∴∠COB=90°，
∴∠ODB+∠B=90°．
∵OA=OB
∴∠OAB=∠B，
∴∠CAB=∠ODB．
∵∠ODB=∠ADC，
∴∠CAB=∠ADC
∴AC=CD；

（2）解：在Rt△OAC中，OC=$\sqrt{O{A}^{2}+A{C}^{2}}$=3，
∴OD=OC-CD=OC-AC=3-2=1，
∵OB=OA=$\sqrt{5}$，
∴BD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，证明线段的相等一般证明这个三角形的两个角相等．