Question

2．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交于AC于F．求证：$\frac{DE}{AE}=\frac{AF}{CF}$．

Answer 1

分析 过F作FG⊥BC于G，连接EG，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，FG⊥BC，BF平分∠ABC，根据角平分线的性质，可得AF=FG，易求得△AEF是等腰三角形，即可得AF=AE=FG，继而证得四边形AFGE是平行四边形，于是得到AD∥FG，EG∥AC，推出△BDE∽△BGF，△BGE∽△BCF，根据相似三角形的性质得到$\frac{DE}{FG}=\frac{BE}{BF}$，$\frac{EG}{CF}=\frac{BE}{BF}$，等量代换即可得到结论．

解答 证明：过F作FG⊥BC于G，连接EG，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴BA⊥AF，
∵BF平分∠ABC，FG⊥BC，
∴∠3=∠4，AF=FG，
∵AD⊥BC，
∴AD∥FG，∠AFE=∠BED=90°-∠4，
∵∠AFE=90°-∠3，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，
∴AE=EG，
∴四边形AFGE是平行四边形，
∴AD∥FG，EG∥AC，
∴△BDE∽△BGF，△BGE∽△BCF，
∴$\frac{DE}{FG}=\frac{BE}{BF}$，$\frac{EG}{CF}=\frac{BE}{BF}$，
∴$\frac{DE}{FG}=\frac{GE}{CF}$，
∴$\frac{DE}{AE}=\frac{AF}{CF}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．