Question

7．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，
（1）BD=CD=2，∠BAC=60°，求四边形ABCD的面积．
（2）若AD=CD，AB+BC=8，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）如图1，延长AB，DC交于E，由∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=60°，得到∠E=30°，∠EBC=90°，根据已知条件求得CE=2BC=4，BE=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，然后根据三角形的面积即可得到结果；
（2）如图2，连接AC，由于S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=$\frac{1}{2}$BC•AB+$\frac{1}{2}$CD×AD=$\frac{1}{2}$BC•AB+$\frac{1}{2}$AD²=$\frac{1}{2}$BC•AB+$\frac{1}{2}$CD²根据AB+BC=8，求出BC²+AB²+2BC×AB=64，也是得到4S_△ABC+4S_△ACD=64，即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，延长AB，DC交于E，
∵∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=60°，
∴∠E=30°，∠EBC=90°，
∵BC=CD=2，
∴CE=2BC=4，BE=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2+4）=2$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△AED-S_△BCE=$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{3}×$6-$\frac{1}{2}×$2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$；

（2）如图2，连接AC，
∵S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=$\frac{1}{2}$BC•AB+$\frac{1}{2}$CD×AD=$\frac{1}{2}$BC•AB+$\frac{1}{2}$AD²=$\frac{1}{2}$BC•AB+$\frac{1}{2}$CD²
∵AB+BC=8，
∴BC²+AB²+2BC×AB=64，
∴4S_△ABC+4S_△ACD=64，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=16．

点评 本题考查了四边形的面积，三角形的面积，等积变换，正确的作出辅助线是解题的关键．