Question

19．如图，△ABC的内切圆⊙O与三边分别相切于D、E、F三点，AB=7，BC=12，CA=11，
（1）求AF的长；
（2）求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）设AF=x，根据切线长定理可得AE=AF=x，BF=BD=AB-AF=7-x，CE=CD=AC-AE=11-x，得方程：7-x+11-x=12，解此方程即可求得答案；
（2）作AM⊥BC于M，连接OA、OB、OC，OD、OE、OF，则∠AMB=∠AMC=90°，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD=OE=OF，由勾股定理求出AM，再由三角形面积的计算方法求出OD即可．

解答 解：（1）设AF=x，
∵△ABC的内切圆⊙O与三边分别相切于D、E、F三点，AB=7，BC=12，CA=11，
∴AE=AF=x，BF=BD=AB-AF=7-x，CE=CD=AC-AE=11-x，
∵BD+CD=BC，
∴7-x+11-x=12，
解得：x=3，
∴AF=3；
（2）作AM⊥BC于M，连接OA、OB、OC，OD、OE、OF，如图所示：
则∠AMB=∠AMC=90°，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD=OE=OF，
在Rt△ABM和Rt△ACM中，由勾股定理得：AM²=AB²-BM²=AC²-CM²，
设BM=x，则CM=12-x，
∴7²-x²=11²-（12-x）²，
解得：x=3，
∴BM=3，
∴AM=$\sqrt{{7}^{2}-{3}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AM，
∴$\frac{1}{2}$（AB+BC+AC）OD═$\frac{1}{2}$BC•AM，
即$\frac{1}{2}$（7+12+11）×OD=$\frac{1}{2}$×12×2$\sqrt{10}$，
解得：OD=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
即⊙O的半径为$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

点评 此题考查了三角形的内切圆、切线长定理、勾股定理、三角形面积的计算方法；熟练掌握切线长定理和勾股定理，由勾股定理和三角形的面积关系是⊙O的半径的关键．