Question

11．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为△ABC所在平面一点，且∠BDA=15°，连接CD．

（1）当点D在△ABC外时，如图1，求证：2AD²=（CD-BD）²；
（2）当点D在△ABC内时，如图2，过点A作AE⊥CD，垂足为E，BD的延长线交AE于点F，若CE=8，AF=5，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）延长BD，作AE⊥AD交BD的延长线于G，得到△ADG是等腰直角三角形，得到AG=AD，由于∠GAD=∠BAC=90°，得到∠GAB=∠DAC证得△GAB≌△DAC再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果．
（2）作GA⊥AD交BD的延长线于G，连接CG，作AH⊥DG于H交DC于I，得到△ADG是等腰三角形，由等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠GAC，推出△ABD≌△AGC，
得到∠AGC=∠ADB=135°，BD=CG又得出△AFH≌△DHI，得到AF=DI=5，推出DC=2OI=10，CE=8通过△DEF∽△AEI，得到比例式$\frac{DE}{EF}=\frac{AE}{EI}$，求出EF=1，DF=$\sqrt{5}$根据cos∠hdi=$\frac{DE}{DF}=\frac{DH}{DI}$，得出$\frac{DH}{DI}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，DI=5，DH=2$\sqrt{5}$，求出DG=4$\sqrt{5}$，在R_t△DGC中，根据勾股定理可得结论．

解答 （1）证明：如图1，延长BD，作AE⊥AD交BD的延长线于G，
∵∠BDA=135°，
∴∠ADG=45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴AG=AD
，∵∠GAD=∠BAC=90°，
∴∠GAB=∠DAC，在△GAB与△DAC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AG}\\{∠EAD=∠DAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△GAB≌△DAC，
∴DC=BC，
∵BG-BD=DG，
∴DC-BD=DG，
∵∠ADG=45°∠GAD=90°，
∴DG=$\sqrt{2}$AD，
∴DC-BD=$\sqrt{2}$AD，
∴2AD²=（CD-BD²

（2）如图2，作GA⊥AD交BD的延长线于G，连接CG，作AH⊥DG于H交DC于I，
∴△ADG是等腰三角形，
∴DH=GH，∠AGD=45°，
∵∠BAD=90°-∠∠GAC=90°-∠CAD，
∴∠BAD=∠GAC，
，在△ABD与△AGC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠GAC}\\{AD=AG}\end{array}\right.$，
，∴△ABD≌△AGC，
∴∠AGC=∠ADB=135°，BD=CG，
∴∠DGC=∠AGC=∠AGD=90°，
∵AH⊥DG，
∴∠DHI=∠DGC=90°，
∴AI∥CG，
∵DH=GH，
∴DI=IC，
∵∠FAH+∠EIH=∠HDI+∠DIH=90°，
∴∠FAH=∠HDI，
在△AFH与△HDI中$\left\{\begin{array}{l}{∠FAH=∠HDI}\\{AH=DH}\\{∠AHF=∠DHI}\end{array}\right.$，
∴△AFH≌△DHI，
∴AF=DI=5，
∴DC=2OI=10，CE=8，
∴DE=2，EI=3，
∵△DEF∽△AEI，
∴$\frac{DE}{EF}=\frac{AE}{EI}$，
∴$\frac{2}{EF}=\frac{5+EF}{3}$，
∴EF=1，
∴DF=$\sqrt{5}$，
∴cos∠HDI=$\frac{DE}{DF}=\frac{DH}{DI}$，
∴$\frac{DH}{DI}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，DI=5，
∴DH=2$\sqrt{5}$，
∴DG=4$\sqrt{5}$，
在R_t△DGC中，CG²=DC²-DG²=20，
∴CG=2$\sqrt{5}$，
∴$BD=CG=2\sqrt{5}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．