Question

如图，矩形纸片ABCD的两边长AB=8cm、AD=6cm，沿过BD的中点D的直线对折，使B与D点重合（即B、D两点关于EF对称，EF是BD的垂直平分线），然后将纸片摊平．
（1）求证：BEDF为菱形；
（2）求折痕EF的长．

Answer 1

分析：（1）平行四边形对角线互相垂直即为菱形；
（2）第二问中在直角三角形中，对角线BD是已知，可设BE的长为x，利用勾股定理求出BE，OE即可．

解答：证明：（1）∵纸片沿过BD的中点D的直线对折、使B与D点重合，
∴OD=OB，∠DOE=∠BOF，OF=OE，
∴△DOE≌△BOF，所以DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF为菱形；

解：（2）连接BE，由题意可得：EF垂直平分BD，
所以BE=DE，又OB=

1

2

BD=

1

2

62+ 82

=5，
设BE=ED=x，则CE=8-x，
在直角△BCE中，由勾股定理可得：x²=（8-x）²+6²，解得x=

25

4

，
又在直角△ODE中，由勾股定理可得：OE=

DE2 - OD2

 = 

(  25 4 )2- 52

=

15

4

，
而△DOE≌△BOF，所以OE=OF，故EF=

15

2

．

点评：掌握菱形性质的判定，会利用勾股定理求解一些简单的直角三角形．