Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，以A B为边在第二象限内作正方形ABCD．

（1）求点A、B的坐标，并求边AB的长；

（2）求点D的坐标；

（3）在x轴上找一点M，使△MDB的周长最小，请求出M点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（－6，4）；（3）M（－2，0）

【解析】

（1）由题意将y=0和x=0分别代入即可求出点A、B的坐标，进而求出边AB的长；

（2）根据题意作DH⊥轴于H，并利用全等三角形的判定与性质求得△DAH≌△ABO，进而得出DH和OH的值即可；

（3）根据题意作D点关于轴的对称点为E，并连接BE交x轴于点M，△MDB的周长为,有为定值，只需满足的值最小即可，将进行转化，根据两点间线段最短即可知道此时的M即为所求，解出直线BE的解析式即可得到M点的坐标．

解：（1）由题意直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将y=0和x=0分别代入即可求出点A、B的坐标为：A（－4，0），B（0，2），

所以AB＝.

（2）作DH⊥轴于H，

由于∠DHA＝∠BAD＝90°，

∠DAH＋∠BAO=90°，

∠BAO+∠ABO＝90°，

∴∠DAH＝∠ABO，

又DA＝AB，

∴△DAH≌△ABO（AAS），

则DH＝OA＝4，AH＝OB＝2，OH=4+2=6,

∵点D的坐标在第二象限，

∴D（－6，4）.

（3）作D点关于轴的对称点为E，并连接BE交x轴于点M，

根据轴对称的性质可知，E（－6，－4），

△MDB的周长为：,有为定值，只需满足的值最小即可，

将进行转化，根据两点间线段最短即可知道此时的M即为所求，

利用待定系数法求得直线BE的解析式为，

直线与轴的交点坐标为（－2，0），

故M（－2，0）．