Question

20．若关于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有两个实数根x₁和x₂，当x${\;}_{1}^{n}$=x${\;}_{2}^{n}$（其中n为偶数）时，求m的值．

Answer 1

分析 先根据判别式的意义得到△=（2m-1）²-4m²≥0，解得m≤$\frac{1}{4}$，再根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-（2m-1），然后利用x₁ⁿ=x₂ⁿ（其中n为偶数），可得x₁=x₂或x₁=-x₂，接着分别利用判别式的意义和两根之和得到m的方程，求出m后根据判别式的意义确定满足条件的m的值．

解答 解：根据题意得△=（2m-1）²-4m²≥0，解得m≤$\frac{1}{4}$，
∵x₁+x₂=-（2m-1），
∵x₁ⁿ=x₂ⁿ（其中n为偶数），
∴x₁=x₂或x₁=-x₂，
当x₁=x₂时，△=（2m-1）²-4m²=0，解得m=$\frac{1}{4}$；
当x₁=-x₂时，-（2m-1）=0，解得m=$\frac{1}{2}$，而m≤$\frac{1}{4}$，所以舍去，
∴m的值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．