Question

6．如图，抛物线y=x²+bx+c交x轴于点A（-1，0）和点B（m，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，m＞1．
（1）分别用m表示b和c；
（2）用m表示D的坐标；
（3）当m取何值时，△ABD是等边三角形？

Answer 1

分析 （1）根据抛物线与x轴的交点坐标列出解析式，与已知解析式比较，表示出b与c即可；
（2）把抛物线解析式表示为顶点形式，表示出D坐标即可；
（3）连接AD，BD，过D作DE垂直于x轴，利用等边三角形的性质得到DE=$\sqrt{3}$AE，即可确定出m的值．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c交x轴于点A（-1，0）和点B（m，0），
∴x²+bx+c=（x+1）（x-m）=x²-（m-1）x-m，
则b=1-m，c=-m；
（2）y=x²+（1-m）x-m=（x+$\frac{1-m}{2}$）²-$\frac{（m+1）^{2}}{4}$，
则顶点D的坐标为（-$\frac{1-m}{2}$，-$\frac{（m+1）^{2}}{4}$）；
（3）若△ABD为等边三角形，作DE⊥x轴，
可得DE=$\sqrt{3}$AE，
∵DE=$\frac{（m+1）^{2}}{4}$，AE=1-$\frac{1-m}{2}$=$\frac{m+1}{2}$，
∴$\frac{m+1}{2}$=$\sqrt{3}$，
解得：m=2$\sqrt{3}$-1．

点评 此题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．