Question

11．如图，己知函数y=-$\frac{4}{3}$x+4的图象与坐标轴的交点分别为点A、B，点C与点B关于
x轴对称，动点P、Q分别在线段BC、AB上（点P不与点B、C重合）．且∠APQ=∠
ABO
（1）点A的坐标为（3，0），AC的长为5；
（2）判断∠BPQ与∠CAP的大小关系，并说明理由；
（3）当△APQ为等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用坐标轴上点的坐标特征可求出A、B点的坐标，再利用关于x轴对称的点的坐标特征得到C点坐标，然后利用勾股定理可计算出AC的长；
（2）利用对称性质得到AB=AC，则∠1=∠2，而∠APQ=∠1，所以∠2=∠APQ，再根据三角形外角性质得∠BPA=∠2+∠3，易得∠BPQ=∠3；
（3）分类讨论：当PA=PQ，如图1，根据等腰三角形的性质得∠PQA=∠PAQ，利用三角形外角性质和等量代换可得∠PQA=∠BPA，则BP=BA=5，所以OP=BP-OB=1，于是得到此时P点坐标为（0，-1）；当AQ=AP，由于∠AQP=∠APQ，∠AQP=∠BPA，两者相矛盾，此情况不存在；当QA=QP，如图2，则∠APQ=∠PAQ，由于∠1=∠APQ，则∠1=∠PAQ，所以PA=PB，设P（0，t），则PB=PA=4-t，在Rt△OPA中利用勾股定理得到t²+3²=（4-t）²，解得t=$\frac{7}{8}$，从而可得到此时P点坐标为（0，$\frac{7}{8}$）．

解答 解：（1）当y=0时，-$\frac{4}{3}$x+4=0，解得x=3，则A（3，0），
当x=0时，y=-$\frac{4}{3}$x+4=4，则B（0，4），
∵点C与点B关于x轴对称，
∴C（0，-4），
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
故答案为（3，0），5；
（2）∠BPQ=∠CAP．理由如下：
∵点C与点B关于x轴对称，
∴AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵∠APQ=∠1，
∴∠2=∠APQ，
∵∠BPA=∠2+∠3，
即∠BPQ+∠APQ=∠2+∠3，
∴∠BPQ=∠3；
（3）当PA=PQ，如图1，则∠PQA=∠PAQ，
∵∠PQA=∠1+∠BPQ=∠APQ+∠BPQ=∠BPA，
∴BP=BA=5，
∴OP=BP-OB=1，
∴P（0，-1）；
当AQ=AP，则∠AQP=∠APQ，
而∠AQP=∠BPA，所以此情况不存在；
当QA=QP，如图2，则∠APQ=∠PAQ，
而∠1=∠APQ，
∴∠1=∠PAQ，
∴PA=PB，
设P（0，t），则PB=4-t，
∴PA=4-t，
在Rt△OPA中，∵OP²+OA²=PA²，
∴t²+3²=（4-t）²，解得t=$\frac{7}{8}$，
∴P（0，$\frac{7}{8}$），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，-1），（0，$\frac{7}{8}$）．

点评 本题考查了一次函数的综合题：熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质；理解坐标与图形性质，能利用两点间的距离公式计算线段的长；会运用注意分类讨论思想的解决数学问题．