Question

如图，已知在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过O点的射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P，则下面结论中：

①图形中全等的三角形只有三对；②△EOF是等腰直角三角形；

③正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；

④BE+BF=OA；⑤AE²+BE²=2OP•OB．

正确结论的个数是（　　）

　   A． 4个                  B． 3个                         C． 2个                        D． 1个

Answer 1

A     解：①不正确；

图形中全等的三角形有四对：△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∠BAO=∠BCO=45°，

在△ABC和△ADC中，，

∴△ABC≌△ADC（SSS）；

∵点O为对角线AC的中点，

∴OA=OC，

在△AOB和△COB中，，

∴△AOB≌△COB（SSS）；

∵AB=CB，OA=OC，∠ABC=90°，

∴∠AOB=90°，∠OBC=45°，

又∵∠EOF=90°，

∴∠AOE=∠BOF，

在△AOE和△BOF中，，

∴△AOE≌△BOF（ASA）；

同理：△BOE≌△COF；

②正确；理由如下：

∵△AOE≌△BOF，

∴OE=OF，

∴△EOF是等腰直角三角形；

③正确．理由如下：

∵△AOE≌△BOF，

∴四边形OEBF的面积=△ABO的面积=正方形ABCD的面积；

④正确．理由如下：

∵△BOE≌△COF，

∴BE=CF，

∴BE+BF=CF+BF=BC=AB=OA；

⑤正确．理由如下：

∵△AOE≌△BOF，

∴AE=BF，

∴AE²+CF²=BE²+BF²=EF²=2OF²，

在△OPF与△OFB中，

∠OBF=∠OFP=45°，

∠POF=∠FOB，

∴△OPF∽△OFB，

∴OP：OF=OF：OB，

∴OF²=OP•OB，

∴AE²+CF²=20P•OB．

正确结论的个数有4个；