Question

【题目】如图，OC是△ABC中AB边的中线，∠ABC＝36°，点D为OC上一点，如果OD＝kOC，过D作DE∥CA交于BA点E，点M是DE的中点，将△ODE绕点O顺时针旋转α度（其中0°＜α＜180°）后，射线OM交直线BC于点N．

（1）如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）；

（2）当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式；

（3）写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角α的度数．

Answer 1

【答案】（1）S△ODE＝13k2；（2）y＝α（0＜α＜144°）；y=180°﹣α（144°＜α＜180°）；（3）α＝162°．

【解析】

（1）通过证明△ODE∽△OCA，可得，即可求解；

（2）通过证明△OEM∽△BAC，可得∠EOM＝∠ABC＝36°，分两种情况讨论可求解；

（3）分四种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．

（1）∵OC是△ABC中AB边的中线，△ABC的面积为26，

∴S△OAC＝13，

∵DE∥AC，

∴△ODE∽△OCA，∠OEM＝∠OAC，

∴，且OD＝kOC，

∴S△ODE＝13k2，

（2）∵△ODE∽△OCA，

∴，

∵OC是△ABC中AB边的中线，点M是DE的中点，

∴AB＝2AO，EM＝DE，

∴＝＝，且∠OEM＝∠OAC，

∴△OEM∽△BAC，

∴∠EOM＝∠ABC＝36°，

如图2，当0＜α＜144°时，

∵∠AON＝∠B+∠ONB，

∴∠AOE+∠EOM＝∠B+∠ONB

∴y＝α

如图3，当144°＜α＜180°时，

∵∠BON＝∠EOM﹣∠BOE＝36°﹣（180°﹣α）

∴∠NOB＝α﹣144°，

∵∠BNO＝∠ABC﹣∠NOB＝36°﹣（α﹣144°）＝180°﹣α；

（3）当0＜α＜144°时，若OB＝ON，则∠ABC＝∠BNO＝36°＝α，

若OB＝BN，则∠ONB＝＝72°＝α，

若ON＝BN，则∠ABC＝∠BON＝36°，

∴∠ONB＝180°﹣2×36°＝108°＝α，

当144°＜α＜180°时，

若OB＝BN，则∠N＝∠NOB＝18°＝180°﹣α，

∴α＝162°．