Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=8，若动点D从B出发沿线段BA以每秒2个单位长度运动到A点为止，过D作DE∥BC交于点E．设运动点D的运动时间为x秒，当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：作AH⊥BC，则可证

DA

AB

=

DE

BC

=

AG

AH

，即可求得△BDE面积关于x的函数式，即可求得△BDE面积的最大值．

解答：解：作AH⊥BC，交DE于点G，

∵DE∥BC，∴

DA

AB

=

DE

BC

=

AG

AH

，
∴运动时间为x秒，DE：BA=（8-2x）：8，
∵AB=8，∠C=30°，
∴AC=8

3

，AH=4

3

，BC=16
∴△BDE面积为

1

2

DE•GH
=

1

2

×

8-2x

8

•BC×

2x

8

•AH
=2

3

x（4-x）=-2

3

（x²-4x）=-2

3

[（x-2）²-4]=-2

3

（x-2）²+8

3

．
∴当x=2时，△BDE的面积S有最大值，为8

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性子，本题中求得DE：BC和GH：AH是解题的关键．