Question

如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm²）．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若△PBQ的面积为18cm²，求运动时间；
（3）求△PBQ的面积的最大值．

Answer 1

解：（1）∵S_△PBQ=PB•BQ，PB=AB-AP=18-2x，BQ=x，
∴y=（18-2x）x，
即y=-x²+9x（0＜x≤4）；       

（2）由题意得出：18=-x²+9x，
解得：x₁=3，x₂=6，
∵0＜x≤4，
∴x=3，
∴△PBQ的面积为18cm²，运动时间为3秒；

（3）由（1）知：y=-x²+9x，
∴y=-（x-）²+，
∵当0＜x≤时，y随x的增大而增大，
而0＜x≤4，
∴当x=4时，y_最大值=20，
即△PBQ的最大面积是20cm²．
分析：（1）分别表示出PB、BQ的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解；
（2）利用一元二次方程的解法得出即可；
（3）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答．
点评：本题考查了矩形的性质，二次函数的最值问题，根据题意表示出PB、BQ的长度是解题的关键．