【题目】(1)如图1,三角形ABC中,BO平分∠ABC、CO平分∠ACB,则∠BOC与∠A的数量关系是 ;
(2)如图2,BO平分△ABC的外角∠CBD、CO平分△ABC的外角∠BCE,则∠BOC与∠A的关系是 ;
(3)请就图2及图2中的结论进行证明.
【答案】(1)∠BOC=90°+∠A;(2)∠BOC=90°-∠A;(3)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,然后表示出∠OBC+∠OCB,再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可;
(2)由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可证2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°,再根据三角形内角和定理可证2∠BOC=180°-∠A,即∠BOC=90°-∠A;
(3)由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可证2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°,再根据三角形内角和定理可证2∠BOC=180°-∠A,即∠BOC=90°-∠A.
试题解析:(1)∠BOC=90°+∠A.
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB),
在△OBC中,∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°-
=90°+∠A,
(2)∠BOC与∠A的关系是∠BOC=90°-∠A.
(3)如图,
∵BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线,
∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A,
∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A,
∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°,
又∵∠1+∠2+∠BOC=180°,
∴2∠BOC=180°-∠A,
∴∠BOC=90°-∠A.
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