Question

19．如图，抛物线y=-x²-2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）抛物线在第二象限内是否存在一点Q，使△QBC的面积最大？，若存在，求出点Q的坐标及△QBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线与x轴的交点坐标与系数的关系即可求得；
（2）根据轴对称的性质先找出C的对称点C′，然后连接AC′即可找到P点，最后根据A、C′的坐标求得直线AC′的解析式，即可求得P的坐标；
（3）根据S_△QBC=S_△QBP+S_{四边形QPOC}-S_△BOC即可求得解析式，根据解析式即可求得求出点Q的坐标及△QBC的面积最大值；

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²-2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
当y=0时，即-x²-2x+3=0，
解得：x₁=-3，x₂=1，
当x=0时，y=3，
∴B（-3，0）、C（0，3）；

（2）存在；
如图1，∵抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3，
∴抛物线的对称轴x=-1，C（0，3）
∴C′（-2，3），
设直线AC′的解析式为：y=kx+b，
∵A（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=-2k+b}\\{0=k+b}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AC′的解析式为：y=-x+1，
把x=-1代入直线AC′的解析式y=-x+1，得y=2，
∴P（-1，2）；

（3）存在；
如图2，设Q（m，-m²-2m+3），过Q作QP⊥x轴于P，
∴OP=-m，PQ=-m²-2m+3，BP=3+m，
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BP•PQ=$\frac{1}{2}$（3+m）（-m²-2m+3），S_{四边形QPOC}=$\frac{1}{2}$（OC+PQ）•OP=$\frac{1}{2}$（3-m²-2m+3）•（-m），S_△BOC=$\frac{1}{2}$OB•OC=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$，
∴S_△PBC=S_△PBQ+S_{四边形QPOC}-S_△BOC=-$\frac{3}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m，
即S_△PBC=-$\frac{3}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m=-$\frac{3}{2}$（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{8}$，
∴当m=-$\frac{1}{2}$时，△QBC的面积最大，最大值为$\frac{3}{8}$；
∴Q（-$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 该题考查的内容主要涉及到利用待定系数法确定函数解析式、轴对称图形、三角形的面积以及平行四边形的判定和性质；（3）利用坐标系借助规则图形求三角形的面积是此题的关键所在．