Question

20．如图，在⊙O中，CD为直径，CD=3，AB=1．求cosα的值．

Answer 1

分析 连接BD，由圆周角定理得出∠A=∠C，∠B=∠D，证出△ABP∽△CDP，得出对应边成比例$\frac{PB}{PD}=\frac{AB}{CD}$=$\frac{1}{3}$，由直径所对的圆周角是直角得出∠CBD=90°，在Rt△PBD中，由三角函数求出cos∠BPD=$\frac{PB}{PD}$=$\frac{1}{3}$即可．

解答 解：连接BD，如图所示：
∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴△ABP∽△CDP，
∴$\frac{PB}{PD}=\frac{AB}{CD}$=$\frac{1}{3}$，
∵CD为直径，
∴∠CBD=90°，
在Rt△PBD中，cos∠BPD=$\frac{PB}{PD}$=$\frac{1}{3}$，
即cosα=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握圆周角定理，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．