Question

4．甲、乙两地之间有一条笔直的公路l，小明从甲地出发沿公路l步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路l骑车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．设小明与甲地的距离为y₁米，小亮与甲地的距离为y₂米，小明与小亮之间的距离为S米，小明行走的时间为x分钟．y₁、y₂与x之间的函数图象如图1，S与x之间的函数图象（部分）如图2．
（1）求小亮从乙地到甲地过程中y₂（米）与x（分钟）之间的函数关系式；
（2）求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中S（米）与x（分钟）之间的函数关系式；
（3）在图2中，补全整个过程中S（米）与x（分钟）之间的函数图象，并确定a的值．

Answer 1

分析 （1）设小亮从乙地到甲地过程中y₂（米）与x（分钟）之间的函数关系式为y₂=k₂x+b，由待定系数法根据图象就可以求出解析式；
（2）先根据函数图象求出甲乙的速度，然后与追击问题就可以求出小亮追上小明的时间，就可以求出小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s（米）与x（分钟）之间的函数关系式；
（3）先根据相遇问题建立方程就可以求出a值，10分钟甲、乙走的路程就是相距的距离，14分钟小明走的路程和小亮追到小明时的时间就可以补充完图象．

解答 解：（1）设小亮从乙地到甲地过程中y₂（米）与x（分钟）之间的函数关系式为y₂=k₂x+b，由图象，得
$\left\{\begin{array}{l}{2000=b}\\{0=10{k}_{2}+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-200}\\{b=2000}\end{array}\right.$，
∴y₂=-200x+2000；

（2）由题意，得
小明的速度为：2000÷40=50米/分，
小亮的速度为：2000÷10=200米/分，
∴小亮从甲地追上小明的时间为（24×50）÷（200-50）=8分钟，
∴24分钟时两人的距离为：S=24×50=1200，32分钟时S=0，
设S与x之间的函数关系式为：S=kx+b₁，由题意，得
$\left\{\begin{array}{l}{1200=24k+{b}_{1}}\\{0=32k+{b}_{1}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-150}\\{{b}_{1}=4800}\end{array}\right.$，
∴S=-150x+4800（24≤x≤32）；

（3）由题意，得
a=2000÷（200+50）=8分钟，
当x=24时，S=1200，
设经过x分钟追上小明，则200x-50x=1200，解得x=8，此时的总时间就是24+8=32分钟．
故描出相应的点就可以补全图象．
如图：

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，追击问题与相遇问题在实际问题中的运用，描点法画函数图象的运用，解答时灵活运用路程、速度、时间之间的数量关系是关键．