Question

14．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（1，4），B（m，n）．
（1）求代数式mn的值．
（2）若二次函数y=a（x-2）²的图象经过点B，求代数式m³n-2m²n+3mn-4n的值；
（3）若反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与二次函数y=a（x-2）²的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（1，4）和点B（m，n），横纵坐标的乘积为定值得出mn=4；
（2）由二次函数y=（x-1）²的图象经过点B，代入即可得出m，n的关系，再由mn=4，得出代数式m³n-2m²n+3mn-4n的值即可；
（3）先求得反比例函数的图象与直线y=x的交点，再依次代入即可得出a的值，由二次函数y=a（x-1）²的顶点为（1，0），求得符合题意的a的取值范围即可．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（1，4），
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$，
∵反比例函数的图象经过点B（m，n），
∴mn=4，
（2）∵二次函数y=（x-1）²的图象经过点B，
∴n=（m-1）²，
由（1）得mn=4，
∴原式=mn（m²-2m+1）+2mn-4n
=4（m-1）²+8-4n=4n+8-4n
=8；
（3）由（1）的反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，令y=x，得x²=4，解得x=±2，
反比例函数的图象与直线y=x的交点为（2，2）（-2，-2），
当二次函数y=a（x-1）²的图象经过点（2，2）时，可得a=2；
当二次函数y=a（x-1）²的图象经过点（-2，-2）时，可得a=-$\frac{2}{9}$；
∵二次函数y=a（x-1）²的顶点为（1，0），
∴由图象可得，符合题意的a的取值范围是0＜a＜2或a＜-$\frac{2}{9}$．

点评 本题考查了二次函数与不等式（组），反比例函数的性质以及反比例函数和一次函数的交点问题，掌握用待定系数法求解析式是解题的关键．