Question

4．已知关于x的一元二次方程x²-6x+k+4=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为大于2的整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由方程有两个不等实数根可得b²-4ac＞0，代入数据即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据k为大于2的整数以及（1）的结论可得出k的值，将其代入原方程，根据该方程的根都是整数即可得出结论．

解答 解：（1）依题意得△=（-6）²-4（k+4）＞0，
解得：k＜5；

（2）因为k为大于2的整数且k＜5，
所以k=3或4，
当k=3时，方程x²-6x+k+4=0即为x²-6x+7=0没有整数根，不合题意，舍去；
当k=4时，方程x²-6x+k+4=0即为x²-6x+8=0的根为整数，符合题意．
故k=4．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．