Question

（2012•绍兴三模）在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12），动点P、Q同时从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F（如图）．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒），则：
（1）当t=

13

3

时，四边形PABQ是平行四边形；
（2）当t=

2或1或

16

3

或

3

2

时，△PQF是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）设OP=2t，QB=t，PA=13-2t，根据平行四边形的性质（对边平行且相等）知，只需QB=PA，从而求得t；
（2）根据平行线分线段成比例求得

QB

OP

=

QD

DP

=

1

2

；然后由平行线OB∥DE∥PA分线段成比例求得

QB

AF

=

1

2

；利用等量代换求得AF=2QB=2t，PF=OA=13；分三种情况解答：①QP=FQ，作QG⊥x轴于G，则11-t-2t=2t+13-（11-t）；②PQ=FP；③FQ=FP．

解答：解：（1）设OP=2t，QB=t，PA=13-2t，
要使四边形PABQ为平行四边形，则13-2t=t
解得t=

13

3

．

（2）∵

QB

OP

=

QD

DP

=

1

2

，
∵QB∥DE∥PA，
∴

QB

AF

=

1

2

；，
∴AF=2QB=2t，
∴PF=OA=13，
①QP=FQ，作QG⊥x轴于G，则11-t-2t=2t+13-（11-t），
∴t=

3

2

；
②PQ=FP，
∴

(11-3t)2+122

=13，
∴t=2或

16

3

；
③FQ=FP，

[13+2t-(11-t)]2+122

=13，
∴t=1．
综上，当t=

3

2

或2或1或

16

3

时，△PQF是等腰三角形．
故答案为：

13

3

；2或1或

16

3

或

3

2

．

点评：本题综合考查了平行线分线段成比例、平行四边形的判定、等腰三角形的判定及勾股定理与直角梯形性质的应用．解答此题时，多处用到了分类讨论的数学思想，防止漏解．