Question

4．在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：
（1）$\frac{EF}{AE}$=$\frac{AE}{BE}$；
（2）∠EFD=∠DBC．

Answer 1

分析 （1）由在矩形ABCD中，BE垂直AC交AC于点F，易证得△AEF∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（2）易证得△DEF∽△EBD，然后由相似三角形的对应角相等，证得∠EFD=∠EDB，又由AD∥BC，证得结论．

解答 证明：（1）∵AC⊥BE，
∴∠AFB=∠AFE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠AFE=∠BAE，
又∵∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
∴$\frac{EF}{AE}$=$\frac{AE}{BE}$；

（2）∵点E是AD的中点，
∴AE=ED，
∴$\frac{EF}{ED}=\frac{DE}{BE}$，
又∵∠FED=∠DEB，
∴△DEF∽△EBD，
∴∠EFD=∠EDB，
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠EDB，
∴∠EFD=∠DBC．

点评 此题考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意证得△AEF∽△BEA与△DEF∽△EBD是关键．