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【题目】如图,四边形 ABCD 是边长为 2,一个锐角等于 60°的菱形纸片,将一个EDF=60°的三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点 D 重合,按顺时针方向旋转这个三角形纸片,使它的两边分别交 CB,BA(或它们的延长线于点 E, F;

①当 CE=AF 时,如图①,DE DF 的数量关系是

②继续旋转三角形纸片,当 CE≠AF 时,如图②,(1)的结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;

③再次旋转三角形纸片,当点 E,F 分别在 CB,BA 的延长线上时,如图③请直接写出 DE DF 的数量关系.

【答案】(1) DE=DF;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

(1)证明△DAF≌△DCE(SAS)即可判断;(2)由菱形的性质得到△ABD 是等边三角形,再证明△ADF≌△BDE 即可;(3)由菱形的性质得到△ABD 是等边三角形,再证明△ADF≌△BDE 即可;

(1)DE=DF;

理由:∵四边形 ABCD 是菱形,

∴DA=DC,∠A=∠C,

∵AF=CE,

∴△DAF≌△DCE(SAS),

∴DE=DF.

(2)成立.

理由:连接 BD.

∵四边形 ABCD 是菱形,

∴AD=AB.

又∵∠DAB=60°,

∴△ABD 是等边三角形,

∴AD=BD,∠ADB=60°,

∴∠DBE=∠DAF=60°.

∵∠EDF=60°,

∴∠ADB=∠EDF=60°,

∴∠ADF=∠BDE,

∴△ADF≌△BDE(ASA),

∴DE=DF.

(3)结论:DF=DE.

理由:如图 3,连接 BD.

∵四边形 ABCD 是菱形,

∴AD=AB.

又∵∠A=60°,

∴△ABD 是等边三角形,

∴AD=BD,∠ADB=60°,同法可证∠DBC=60°,

∴∠DBE=∠DAF=120°

∵∠EDF=ADB=60°,

∴∠ADF=∠BDE,

∴△ADF≌△BDE(ASA),

∴DF=DE.

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