【题目】如图,四边形 ABCD 是边长为 2,一个锐角等于 60°的菱形纸片,将一个∠EDF=60°的三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点 D 重合,按顺时针方向旋转这个三角形纸片,使它的两边分别交 CB,BA(或它们的延长线)于点 E, F;
①当 CE=AF 时,如图①,DE 与 DF 的数量关系是 ;
②继续旋转三角形纸片,当 CE≠AF 时,如图②,(1)的结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;
③再次旋转三角形纸片,当点 E,F 分别在 CB,BA 的延长线上时,如图③, 请直接写出 DE 与 DF 的数量关系.
【答案】(1) DE=DF;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
(1)证明△DAF≌△DCE(SAS)即可判断;(2)由菱形的性质得到△ABD 是等边三角形,再证明△ADF≌△BDE 即可;(3)由菱形的性质得到△ABD 是等边三角形,再证明△ADF≌△BDE 即可;
(1)DE=DF;
理由:∵四边形 ABCD 是菱形,
∴DA=DC,∠A=∠C,
∵AF=CE,
∴△DAF≌△DCE(SAS),
∴DE=DF.
(2)成立.
理由:连接 BD.
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AD=AB.
又∵∠DAB=60°,
∴△ABD 是等边三角形,
∴AD=BD,∠ADB=60°,
∴∠DBE=∠DAF=60°.
∵∠EDF=60°,
∴∠ADB=∠EDF=60°,
∴∠ADF=∠BDE,
∴△ADF≌△BDE(ASA),
∴DE=DF.
(3)结论:DF=DE.
理由:如图 3,连接 BD.
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AD=AB.
又∵∠A=60°,
∴△ABD 是等边三角形,
∴AD=BD,∠ADB=60°,同法可证∠DBC=60°,
∴∠DBE=∠DAF=120°
∵∠EDF=ADB=60°,
∴∠ADF=∠BDE,
∴△ADF≌△BDE(ASA),
∴DF=DE.
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【题目】如图,已知中,延长边上的中线到,使,延长边上的中线到,使,连接.
(1)补全图形;
(2)的大小关系如何?证明你的结论;
(3)三点的位置关系如何?证明你的结论.
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【题目】如图,△ABC中,∠C=90°、AD是角平分线,E为AC边上的点,DE=DB,下列结论:①∠DEA+∠B=180°;② ∠CDE=∠CAB;③ AC= (AB+AE);④ S△ADC=S四边形ABDE,其中正确的结论个数为( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,∠A=108°.
(1)实践与操作:作AB的垂直平分线DE,与AB,BC分别交于点D,E(用尺规作图.保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)推理与计算:求∠AEC的度数.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B1、C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去….若点A(,0),B(0,2),则B2的坐标为_____;点B2016的坐标为_____.
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【题目】如图,正方形ABCD中,AD=4,E在AB上且AB=4BE,连接CE,作BF⊥CE于F,正方形对角线交于O点,连接OF,将△COF沿CE翻折得△CGF,连接BG,则BG的长为_____.
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【题目】如图,以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,直线BC的表达式为y=﹣x+3.
(1)求抛物线的表达式;
(2)在直线BC上有一点P,使PO+PA的值最小,求点P的坐标;
(3)在x轴上是否存在一点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】甲、乙两人参加从A地到B地的长跑比赛,两人在比赛时所跑的路程y(米)与时间x(分钟)之间的函数关系如图所示,请你根据图象,回答下列问题:
(1) 先到达终点(填“甲”或“乙”);甲的速度是 米/分钟;
(2)甲与乙何时相遇?
(3)在甲、乙相遇之前,何时甲与乙相距250米?
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