Question

【题目】已知矩形ABCD的一条边AD=8，E是BC边上的一点，将矩形ABCD沿折痕AE折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，PC=4（如图1）．

（1）求AB的长；

（2）擦去折痕AE，连结PB，设M是线段PA的一个动点（点M与点P、A不重合）．N是AB沿长线上的一个动点，并且满足PM=BN．过点M作MH⊥PB，垂足为H，连结MN交PB于点F（如图2）．

①若M是PA的中点，求MH的长；

②试问当点M、N在移动过程中，线段FH的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段FH的长度．

Answer 1

【答案】(1)10；（2）； .

【解析】试题分析：（1）设AB=x，根据折叠可得AP=CD=x，DP=CD-CP=x-4，利用勾股定理，在Rt△ADP中，AD2+DP2=AP2，即82+（x-4）2=x2，即可解答；

（2）①过点A作AG⊥PB于点G，根据勾股定理求出PB的长，由AP=AB，所以PG=BG=PB=，在Rt△AGP中，AG=，

由AG⊥PB，MH⊥PB，所以MH∥AG，根据M是PA的中点，所以H是PG的中点，根据中位线的性质得到MH=AG=．

②作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据MH⊥PQ，得出HQ=PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，最后代入HF=PB即可得出线段EF的长度不变．

试题解析：（1）设AB=x，则AP=CD=x，DP=CD-CP=x-4，

在Rt△ADP中，AD2+DP2=AP2，

即82+（x-4）2=x2，

解得：x=10，

即AB=10．

（2）①如图2，过点A作AG⊥PB于点G，

由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，

∴PB=，

∵AP=AB，

∴PG=BG=PB=，

在Rt△AGP中，AG=，

∵AG⊥PB，MH⊥PB，

∴MH∥AG，

∵M是PA的中点，

∴H是PG的中点，

∴MH=AG=．

②当点M、N在移动过程中，线段FH的长度是不发生变化；

作MQ∥AN，交PB于点Q，如图3，

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．

∴MP=MQ，

∵BN=PM，

∴BN=QM．

∵MP=MQ，MH⊥PQ，

∴EQ=PQ．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF，

在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB（AAS）．

∴QF=QB，

∴HF=HQ+QF=PQ+QB=PB=．

∴当点M、N在移动过程中，线段FH的长度是不发生变化，长度为．