Question

如图在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连接EB交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE=

5

，AB=5，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）连AD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得到AD⊥BC，AE⊥BE，而AB=AC，根据等腰三角形的性质有BD=DC，易得OD为△BAC的中位线，则OD∥AC，即可得到结论；
（2）OD⊥BE，根据垂径定理得弧BD=弧DE，则DB=DE=

5

，设OF=x，则DF=

5

2

-x，利用勾股定理可得（

5

）²-（

5

2

-x）²=（

5

2

）²-x²，解得x=

3

2

，易证得OF为△BAE的中位线，则有AE=2OF=2×

3

2

=3．

解答：（1）证明：连AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∠AEB=90°，
∴AD⊥BC，AE⊥BE，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵BO=OA，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥AC，
∴OD⊥BE；

（2）解：∵OD⊥BE，
∴弧BD=弧DE，
∴DB=DE=

5

，
∵AB=5，则OB=OD=

5

2

，
设OF=x，则DF=

5

2

-x，
∵BF²=BD²-DF²=OB²-OF²，即（

5

）²-（

5

2

-x）²=（

5

2

）²-x²，解得x=

3

2

，
∵OF∥AE，OA=OB，
∴AE=2OF=2×

3

2

=3．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了圆周角定理的推论、等腰三角形的性质以及勾股定理．