[题目]如图.已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0).与y轴交于点C.连接BC交抛物线的对称轴于点E.D是抛物线的顶点．(1)求此抛物线的解析式.(2)若点P在第一象限内的抛物线上.且S△PAB=S△OEB.求点P的横坐标．(3)将△OBE以点B为中心顺时针旋转.旋转角等于2∠OBC.设点E的对应点为点E'.点O的对应点为点O'.求直线O'E'与抛物线的交� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，已知抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于点A(－1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．

（1）求此抛物线的解析式.

（2）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△PAB=S△OEB，求点P的横坐标．

（3）将△OBE以点B为中心顺时针旋转，旋转角等于2∠OBC，设点E的对应点为点E'，点O的对应点为点O'，求直线O'E'与抛物线的交点坐标.

【答案】（1）；（2）；（3），.

【解析】

（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的解析式；

（2）设P点坐标表示出S△PAB，利用B、C点坐标求出BC对应的表达式，从而求出E点坐标，表示出S△OEB，最后利用S△PAB=S△OEB建立方程求解即可；

（3）先根据∠OBC=45°算出旋转角，画出图形后，利用旋转性质可得到O'坐标，利用△EMB≌△E'NB，可得到E'坐标，从而求出直线表达式，最后联立二次函数表达式求交点即可.

解：（1）由点A（－1，0）和点B（3，0）得，解得：，

∴抛物线的解析式为；

（2）令x=0，则y=3，∴C（0，3），

∵，

∴D（1，4）；

设线段BC所在直线的表达式为，代入B（3，0），C（0，3）求得：，

令x=1，则y=－1+3=2，

∴E（1，2），

设P（x，y）（x＞0，y＞0），则，，

∵S△PAB=S△OEB，

∴2y=3

∴，即，

解得：，（不合题意，舍去），

∴点P横坐标为；

（3）由B（3，0），C（0，3）知，OC=OB，即△OBC为等腰直角三角形，

∴∠OBC=45°，

∴旋转角为90°，∠EBE'=90°，如图所示，

∴∠EBM=∠E'BN=45°，

又∠EMB=∠BNE'=90°，BE=BE'

∴△EMB≌△E'NB

∴E'N=EM=2，NB=MB=2，

∴E'（5，2）

∵O'B=OB=3，

∴O'（3，3），

根据E'（5，2），O'（3，3），求得直线O'E'的解析式为：，

联立，得：，解得：，

∴交点坐标为.

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